Formules de Taylor et développements Limités

Le num#65533;ro 13 des Dossiers Math#65533;matiques traite quatre th#65533;mes importants d'analyse math#65533;matique : la comparaison des fonctions au voisinage d'un point, les formules de Taylor, les d#65533;veloppements limit#65533;s et les s#65533;ries enti#65533;res. L'objectif est de revisiter et approfondir ces th#65533;mes fondamentaux, pour soi-m#65533;me ou pour pr#65533;parer l'agr#65533;gation, en disposant d'un texte fluide et rigoureux qui multiplie les rappels et les...
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Le num#65533;ro 13 des Dossiers Math#65533;matiques traite quatre th#65533;mes importants d'analyse math#65533;matique : la comparaison des fonctions au voisinage d'un point, les formules de Taylor, les d#65533;veloppements limit#65533;s et les s#65533;ries enti#65533;res. L'objectif est de revisiter et approfondir ces th#65533;mes fondamentaux, pour soi-m#65533;me ou pour pr#65533;parer l'agr#65533;gation, en disposant d'un texte fluide et rigoureux qui multiplie les rappels et les annexes pour pr#65533;ciser clairement les tenants et les aboutissants. De ce point de vue, le voyage qui s'offre #65533; nous d#65533;passe le cadre strict des formules de Taylor, et se comprend comme la suite naturelle du num#65533;ro 6 de la collection sur les grands th#65533;or#65533;mes de l'analyse. Il s'agit ici d'explorer ces constructions qui permettent d'approcher des fonctions par des applications polynomiales. Le voyage d#65533;bute avec un premier chapitre sur le th#65533;or#65533;me de Rolle pour encha#65533;ner sur la tr#65533;s n#65533;cessaire comparaison des fonctions au voisinage d'un point : domination, pr#65533;pond#65533;rance, #65533;quivalence, avec de nombreux r#65533;sultats #65533; conna#65533;tre et #65533; utiliser au moment fatidique, que ce soit #65533; l'#65533;crit d'un concours ou pendant l'entretien avec un jury d'oral. Le chapitre 3 d#65533;crit les trois formules de Taylor pour une fonction r#65533;elle de la variable r#65533;elle, avec de nombreux commentaires et des applications. Il propose en outre les g#65533;n#65533;ralisations des formules de Taylor aux cas des fonctions d'un espace vectoriel norm#65533; dans un autre. Le chapitre 4 traite des d#65533;veloppements limit#65533;s : que faut-il apprendre et retenir ? Quels sont les #65533;nonc#65533;s salvateurs #65533; savoir quand on s'escrime sur un probl#65533;me ? Il a #65533;t#65533; jug#65533; utile de rajouter un dernier chapitre tr#65533;s complet sur les d#65533;veloppements en s#65533;ries enti#65533;re d'une variable complexe, un sujet proche des formules de Taylor qui compl#65533;te l'#65533;clairage sur ces approximations de fonctions obtenues #65533; l'aide de la formule de Mac Laurin. Apr#65533;s l'investissement consenti dans les chapitres pr#65533;c#65533;dents, il aurait #65533;t#65533; dommage de ne pas profiter de l'occasion : il faut battre le fer tant qu'il est chaud ! Une annexe regroupe des d#65533;veloppements sur la droite num#65533;rique achev#65533;e (indispensable quand on s'int#65533;resse #65533; des limites de fonctions de R dans R), sur la premi#65533;re formule de la moyenne, et propose un petit cours tr#65533;s complet sur les limites sup#65533;rieures des suites avec les rappels concernant les r#65533;gles de Cauchy et d'Alembert, #65533;nonc#65533;es et d#65533;montr#65533;es #65533; l'aide de ces limites #65533; qui existent pour n'importe quelles suites #65533;. Ce livre s'adresse principalement #65533; des #65533;tudiants de licence et aux candidats au concours d'agr#65533;gation de math#65533;matiques interne ou externe. Apr#65533;s les r#65533;formes successives du CAPES math#65533;matiques d#65533;but#65533;es en 2010 (changement des #65533;preuves et du programme en 2011 puis 2014) les th#65533;mes abord#65533;s ici sont moins essentiels #65533; la pr#65533;paration de ce concours. Il est temps de mettre les voiles vers ces rivages magnifiques qui bordent le continent des sciences formelles : profitons du voyage et d#65533;couvrons sans cesse...