Eine geometrische Behandlung des Geistsystems der bosonischen Stringtheorie und einiger Verwandter

In der Arbeit wird eine Verallgemeinerung des Geistsystems der bosonischen Stringtheorie, des sogenannten bc-Systems, eingefuhrt und mit geometrischen Methoden untersucht. Dazu erinnern wir im ersten Kapitel an die physikalische Herkunft und einige einfache Eigenschaften des gewohnlichen bc-Systems, bevor wir im zweiten Kapitel dessen mathematische Behandlung nach Ashok Raina referieren. Als Raumzeit fungiert hier eine Riemannsche Flache und die Felder b und c sind heuristisch als...
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In der Arbeit wird eine Verallgemeinerung des Geistsystems der bosonischen Stringtheorie, des sogenannten bc-Systems, eingefuhrt und mit geometrischen Methoden untersucht. Dazu erinnern wir im ersten Kapitel an die physikalische Herkunft und einige einfache Eigenschaften des gewohnlichen bc-Systems, bevor wir im zweiten Kapitel dessen mathematische Behandlung nach Ashok Raina referieren. Als Raumzeit fungiert hier eine Riemannsche Flache und die Felder b und c sind heuristisch als operatorwertige Schnitte" gewisser Linienbundel zu verstehen; mathematisch betrachtet man jedoch nur die assoziierten Korrelationsfunktionen, denen man einen prazisen Sinn geben kann. Das einfachste System liegt genau dann vor, wenn das zugrunde liegende Linienbundel auf der Riemannschen Flache aus dem Komplement des Thetadivisors stammt. Dann existieren die Korrelationsfunktionen und sind eindeutig durch ihre Null- und Polstellen bestimmt. Sie konnen geometrisch als Pullbacks des zu dem Thetadivisor assoziierten Linienbundels beschrieben werden. Das allgemeine System kann man durch eine geschickte Transformation auf diesen Fall zuruckfuhren. Im dritten Kapitel werden einige erganzende Aspekte des bc-Systems untersucht, unter anderem eine supersymmetrische und eine hoherdimensionale Variante. Wie sich zeigt, sind diese verwandten Systeme deutlich schwieriger in den Griff zu bekommen. Im vierten Kapitel wird eine weitere Version des bc-Systems eingefuhrt, das sogenannte bc_r-System, dessen zugrunde liegende Objekte nicht Linienbundel, sondern (hermitesche) Vektorbundel vom Rang r sind. In Analogie zum Rang eins Fall sieht man, dass der einfachste Fall derjenige ist, bei dem das Vektorbundel stabil ist und aus dem Komplement des "nichtabelschen" Thetadivisors stammt. Hier existieren die Korrelationsfunktionen und sind eindeutig bestimmt - explizite Ausdrucke zu gewinnen durfte jedoch nichttrivial sein. Es zeigt sich ausserdem, dass hier bloss die Determinanten der Korrelationsfunktionen durch den nichtabelschen Thetadivisor beschrieben werden. Insbesondere kann man die Determinanten der Korrelationsfunktionen durch nichtabelsche Thetafunktionen ausdrucken. Leider lasst sich das allgemeine System nicht immer auf diesen Spezialfall zuruckfuhren. Im funften bzw. sechsten Kapitel wird gezeigt, warum es auf der Riemann-Sphare bzw. einer elliptischen Kurve kein naturliches bc_r-System gibt - im Gegensatz zum gewohnlichen bc-System, bei dem man eine explizitere Beschreibung als im allgemeinen Fall hat. Im abschliessenden siebten Kapitel deuten wir einige Richtungen an, in denen man sowohl das bc-System als auch das bc_r-System weiter untersuchen sollte. Eine dieser Richtungen ist, einen expliziteren Zusammenhang zu gewissen Wess-Zumino-Witten-Modellen herzustellen. Dies war auch die ursprungliche Motivation fur die Konstruktion des bc_r-Systems; einige Indizien fur einen solchen Zusammenhang lassen sich tatsachlich finden. Die im Laufe der Arbeit aufgetauchten Probleme sind zum Schluss in einer Liste gesammelt.