Les Raisonnements Mathématiques

Ce livre propose un panorama pr#65533;cis des diff#65533;rentes m#65533;thodes de raisonnement que l''on rencontre en math#65533;matiques. Les syllogismes d''Aristote sont le point de d#65533;part d''un voyage dans les contr#65533;es du raisonnement d#65533;ductif et de son utilisation.D''autres modes de raisonnements seront abord#65533;s, comme les raisonnements inductifs et abductifs, pour arriver #65533; mieux comprendre la particularit#65533; des sciences...
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Ce livre propose un panorama pr#65533;cis des diff#65533;rentes m#65533;thodes de raisonnement que l''on rencontre en math#65533;matiques. Les syllogismes d''Aristote sont le point de d#65533;part d''un voyage dans les contr#65533;es du raisonnement d#65533;ductif et de son utilisation.D''autres modes de raisonnements seront abord#65533;s, comme les raisonnements inductifs et abductifs, pour arriver #65533; mieux comprendre la particularit#65533; des sciences logico-d#65533;ductives.Agr#65533;ment#65533; de 74 exemples propos#65533;s sous forme d''exercices de difficult#65533;s vari#65533;es, corrig#65533;s et comment#65533;s avec soin, ce septi#65533;me volume de la collection des DOSSIERS MATHEMATIQUES est l''occasion de faire le point sur les m#65533;thodes dont on dispose en math#65533;matiques pour chercher, raisonner, et r#65533;diger.La plupart des exercices propos#65533;s demandent d''avoir au moins suivi la fili#65533;re scientifique des lyc#65533;es, m#65533;me si des connaissances math#65533;matiques des deux premi#65533;res ann#65533;es de licence sont souhaitables pour une lecture facilit#65533;e de certains passages. Comme l''a #65533;crit Epicure dans sa Lettre #65533; M#65533;n#65533;c#65533;e :#65533; Il vaut mieux #65533;chouer par mauvaise fortune, apr#65533;s avoir bien raisonn#65533;, que r#65533;ussir par heureuse fortune, apr#65533;s avoir mal raisonn#65533; #65533;.Mais que veut dire #65533; bien raisonner #65533; ?Apr#65533;s un premier chapitre qui rappelle ce que sont les syllogismes, les paralogismes et les sophismes, on trouvera une description concise du raisonnement d#65533;ductif, avec quelques rappels concernant les tables de v#65533;rit#65533;, les pr#65533;dicats et les quantificateurs.Le chapitre 3 d#65533;crit sept raisonnements tr#65533;s utilis#65533;s en math#65533;matiques : - Raisonner directement en d#65533;duisant syst#65533;matiquement les affirmations les unes des autres est un moyen de proc#65533;der, m#65533;me s''il s''av#65533;re judicieux de casser ce sch#65533;ma pour permettre d''#65533;tre plus cr#65533;atif, par exemple en commen#65533;ant par la conclusion.- Raisonner par disjonction de cas est parfois incontournable, comme le sugg#65533;re un paradoxe de Lewis Carroll ou l''exercice sur les chevaliers et les gueux. - Un contre-exemple suffit pour infirmer une propri#65533;t#65533; pr#65533;sent#65533;e comme g#65533;n#65533;rale. - Raisonner par contrapos#65533;e peut #65533;tre utile, mais l''int#65533;r#65533;t majeur de la prise de la contrapos#65533;e d''une implication r#65533;side plut#65533;t dans la capacit#65533; de r#65533;#65533;crire une affirmation de fa#65533;on totalement nouvelle et insoup#65533;onn#65533;e. - Le raisonnement par l''absurde remplace avec bonheur l''utilisation de la contrapos#65533;e en offrant plus de souplesse et de libert#65533;. On se posera cependant la question de savoir pourquoi le raisonnement par l''absurde est souvent mal aim#65533; quand il s''agit d''#65533;crire une d#65533;monstration. - Il est impossible de se passer du raisonnement par analyse-synth#65533;se tant celui-ci permet de d#65533;buter une recherche tout en offrant une m#65533;thode de construction des objets auxquels on s''int#65533;resse. - En dernier lieu, on #65533;tudiera le raisonnement par r#65533;currence qui donne un sens #65533; des propositions qui touchent #65533; une infinit#65533; de d#65533;clarations.Un dernier chapitre s''int#65533;resse #65533; l''enseignement du raisonnement, qu''il ne faut pas trop vite confondre avec la pratique de la d#65533;monstration. L''apprentissage du raisonnement devrait #65533;tre l''un des objectifs principaux de l''enseignement des math#65533;matiques, conjointement #65533; l''acquisition de tout un panel de savoirs structur#65533;s construits sur des r#65533;sultats que l''on aura d#65533;montr#65533;s, ou du moins justifi#65533;s de la fa#65533;on la plus rigoureuse possible #65533; un niveau d''enseignement donn#65533;.